Nome de arquivo randômico

Estou gravando no banco de dados e no servidor arquivos com nomes randômicos:

$ext = explode(".", $file_name);
$ext = $ext[1];
$nome = rand() . "." . $ext;
while (file_exists($nome)) {
$nome = rand() . "." . $ext;
}
@copy($file, $nome);

Problema: Fazer um link para puxar o arquivo que mude o seu nome para $file_name na hora de salvar como, ou seja, salve como $file_name.

Obrigado pela ajuda,

André.